Denganmenggunakan metode invers matriks, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini. 2x + y – z = 1 x + y + z = 6 x – 2y + z = 0 Penyelesaian: Pertama, kita buat nama yang spesifik dari ketiga sistem persamaan linear di atas, yaitu sebagai berikut. 2x + y – z = 1 Pers. (1) x + y + z = 6 . PenyelesaianSistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dapat dilakukan dengan 2 cara: 1. Metode invers Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan invers matriks. 3x − 2y = 52. x + y = 8. adalah determinan matriks A yang kolom keduanya diganti dengan elemen matriks B. tersebutpada 3 persamaan dan 3 variabel pada penyelesaian Sistem Persamaan Linier meskipun secara hasil riset pustaka menunjukkan metoda Gauss lebih efektif dibanding Aturan Cramer (Kamaluddin, 2015).Tapi apakah secara praktek mahasiswa lebih memahami konsep penyelesaian Eliminasi Gauss atau Metoda Cramer atau bahkan keduanya. SISTEMPERSAMAAN LINEAR (SPL) UNTUK PENYELESAIAN Kata Kunci: Sistem persamaan linear (SPL), Matriks, Operasi baris elementer (OBE), Magic Square, Mathematica 8.0. BAB I PENDAHULUAN Sebuah himpunan persamaan dengan variabel umum disebut sistem persamaan. Persamaan linear adalah suatu persamaan yang memiliki variabel Samahalnya pada sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), kita dapat menyelesaikan atau mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan dua cara atau metode, yakni metode substitusi dan metode eliminasi. Metode Substitusi Misalnilai peubah yang memenuhi ketiga persamaan tersebut adalah x', y', dan z', maka himpunan penyelesaian untuk sistem persamaan linear tiga variabel tersebut dapat dinyatakan dengan HP : {(x', y', z')}. Prinsip penyelesaian sistem persamaan lineat tiga variabel sama dengan sistem persamaan linear dua variabel. Inidapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut Hai Rimuru.. Kakak bantu jawab pertanyaan kamu ya ^^ Penjelasan: Sebelumnya kakak ingin memberi tahu bahwa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel ataupun tiga variabel ada beberapa cara dan salah satunya adalah metode subtitusi, untuk metode yang lainnya yaitu : Metode Eliminasi Metode campuran (gabungan metode utkJQ. - Tahukah kamu bahwa penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV dapat diselesaikan selain menggunakan metode eliminasi dan substitusi, juga dapat dicari dengan metode determinan dan invers matriks? Untuk lebih jelasnya mengenai bagaimana cara penyelesaian SPLTV dengan metode determinan dan invers matriks, mari simak pembahasan di umum, bentuk dari SPLTV adalah sebagai berikut FAUZIYYAH Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel Karena penyelesaian SPLTV dengan metode determinan dan invers menggunakan konsep matriks, maka SPLTV di atas harus kita ubah dalam bentuk matriks. Baca juga Metode Eliminasi dan Substitusi SPLTVMatriks SPLTV dapat kita tulis menjadi AX=B seperti di bawah FAUZIYYAH Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel ditulis dalam bentuk matriks Metode Determinan Dilansir dari The Pearson Complete Guide to the AIEEE oleh Dorling Kindersley tahun 2007, determinan adalah bilangan murni yang berasosiasi dengan matriks persegi, yang memiliki angka dan nilai tetap. Determinan matriks A yang kita asumsikan dengan D, diperoleh dengan mencari determinan dari elemen-elemen tersebut. FAUZIYYAH Determinan matriks A D Baca juga Mendefinisikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan MATLAB Seperti pada tutorial sebelumnya mengenai menampilkan dan menyelesaikan persamaan matematika di MATLAB. Pada tutorial ini digunakan konsep matriks array division untuk menyelesaikan persamaan linear dengan MATLAB. Sistem Persamaan Linear Multivariabel digunakan berbagai ilmu dan aplikasinya mudah untuk diterapkan. Seperti namanya sistem persamaan linear multivariabel mempunyai lebih dari satu variabel. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV dan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel merupakan contoh dari sistem persamaan linear multivariabel. A. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut Hitunglah nilai x,y,z ? Sebelum anda menyelesaikan persamaan linear dengan MATLAB anda perlu mengubah bentuk persamaan itu dalam bentuk matriks. Ini menggunakan konsep aljabar linear, sebagai berikut Dengan menggunakan konsep array division pada MATLAB diperoleh solusi matriks X dengan entri x,y,z sebagai berikut Menggunakan left division » A = [3 2 1; 2 7 2; 8 2 -7] A = 3 2 1 2 7 2 8 2 -7 » B = [12; 28; 4] B = 12 28 4 » X=A\B X = menggunakan right division » A = [3 2 8; 2 7 2; 1 2 -7] A = 3 2 8 2 7 2 1 2 -7 » B = [12 28 4] B = 12 28 4 » X =B/A X = Jadi, nilai x = 1,3245 ; y = 3,0993 dan z = 1,8278 B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Empat Variabel Diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut Hitunglah nilai a,b,c,d ? Anda dapat menyelesaikan soal di atas dengan mudah sama dengan cara sistem persamaan linear tiga variabel di atas. Membentuk matriks sistem persamaan Syntax yang diperlukan untuk menghitung soal di atas dengan solusi penyelesaian X adalah sebagai berikut » A = [1 2 3 1; 3 5 7 4; 4 1 1 3; 6 7 5 2] A = 1 2 3 1 3 5 7 4 4 1 1 3 6 7 5 2 » B = [9; 12; 23; 0] B = 9 12 23 0 » X = A\B X = Jadi, nilai a = 11,8824 ; b = -17,5294 ; c = 12,9412 dan d = -6,6471 Anda dapat menyelesaikan persamaan linear dengan MATLAB untuk jumlah variabel yang lebih banyak, dengan membuat bentuk matriks persegi dari sistem persamaan lalu menggunakan Array Division untuk menghitung solusinya. Baca juga tutorial lainnya Daftar Isi Tutorial MATLAB Sekian artikel "Sistem Persamaan Linear Multivariabel di MATLAB". Nantikan artikel menarik lainnya dan jangan lupa share artikel ini ke kerabat anda. Terima kasih… 4. Penyelesaian SPLTV Metode Determinan Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode determinan adalah sebagai berikut. Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut. Misalkan terdapat sistem persamaan berikut. a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut A . X = B …………… Pers. 1 Dengan A = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut. a1 b1 c1 x = d1 a2 b2 c2 y d2 a3 b3 c3 z d3 Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A D, determinan x Dx determinan y Dy dan determinan z Dz dengan persamaan berikut. D = a1 b1 c1 a1 b1 = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 D adalah determinan dari matriks A. Dx = d1 b1 c1 d1 b1 = d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3 – d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1 d2 b2 c2 d2 b2 d3 b3 c3 d3 b3 Dx adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B. Dy = a1 d1 c1 a1 d1 = a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3 – a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1 a2 d2 c2 a2 d2 a3 d3 c3 a3 d3 Dy adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B. Dz = a1 b1 d1 a1 b1 = a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3 – a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1 a2 b2 d2 a2 b2 a3 b3 d3 a3 b3 Dz adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen-elemen matriks B. Langkah Ketiga, tentukan nilai x dan y dengan persamaan berikut. Contoh Soal Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini. 2x + y + z = 12 x + 2y – z = 3 3x – y + z = 11 Jawab Mengubah SPLTV ke bentuk matriks Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut. 2 1 1 x = 12 1 2 −1 y 3 3 −1 1 z 11 Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas. Menentukan nilai D D = 2 1 1 2 1 1 2 −1 1 2 3 −1 1 3 −1 D = [221 + 1−13 + 11−1] – [321 + −1−12 + 111] D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1] D = 0 − 9 D = −9 Menentukan nilai Dx Dx = 12 1 1 12 1 3 2 −1 3 2 11 −1 1 11 −1 Dx = [1221 + 1−111 + 13−1] – [1121 + −1−112 + 131] Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3] Dx = 10 − 37 Dx = −27 Menentukan nilai Dy Dy = 2 12 1 2 12 1 3 −1 1 3 3 11 1 3 11 Dy = [231 + 12−13 + 1111] – [331 + 11−12 + 1112] Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12] Dy = −19 – –1 Dy = −18 Menentukan nilai Dz Dz = 2 1 12 2 1 1 2 3 1 2 3 −1 11 3 −1 Dz = [2211 + 133 + 121−1] – [3212 + −132 + 1111] Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11] Dz = 41 − 77 Dz = −36 Menentukan nilai x, y, z Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {3, 2, 4}. 5. Penyelesaian SPLTV Metode Invers Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi dan berlaku A . B = B . A = 1, maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A atau ditulis B = A-1. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular. Sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Untuk mencari invers matriks persegi berordo 3×3, coba kalian perhatikan contoh berikut ini. Jika A = a1 b1 c1 Dengan det A ≠ 0 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Maka invers dari matriks A ditulis A-1 dirumuskan sebagai berikut. A-1 = 1/determinan Aadjoin A A-1 = 1 adj a1 b1 c1 a2 b2 c2 det A a3 b3 c3 Jika det A = 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers atau disebut matriks singular. Untuk menentukan nilai determinan dan adjoin dari matriks A dapat digunakan cara berikut. Determinan matriks A Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut. A = a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 Kemudian kalikan elemennya secara diagonal, pertama kalikan searah sejajar dengan diagonal utama. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a1b2c3, b1c2a3, dan c1a2b3. Ketiga hasil perkalian elemen matriks tersebut bertanda positif. Perhatika diagram perkalian matriks berikut ini. + + + A = a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 Setelah itu, kalian searah dengan sejajar diagonal samping. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a3b2c1, b3c2a1, dan c3a2b1. Ketiga hasil perkalian elemen matriks ini bertanda negatif. Perhatikan diagram perkalian matriks berikut. − − − A = a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 Determinan dari matriks A adalah jumlah semua hasil perkalian bertandanya yakni det A = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 + −a3b2c1 + −b3c2a1 + −c3a2b1 det A = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1 Adjoin matriks A Untuk menentukan nilai adjoin matriks A digunakan rumus berikut. Adj A = matriks kofaktor AT Jadi sebelum dapat menentukan nilai adjoin, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose. Matriks Kofaktor A [kofA] Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. kofA = K11 K12 K13 K21 K22 K23 K31 K32 K33 Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut. K11 = −11 + 1 M11 M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A. M11 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M11 = b2 c2 = b2c3 – b3c2 b3 c3 Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut. K11 = −11 + 1 [b2c3 – b3c2] K12 = −11 + 2 M12 M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A. M12 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M12 = a2 c2 = a2c3 – a3c2 a3 c3 Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut. K12 = −11 + 2 [a2c3 – a3c2] K13 = −11 + 3 M13 M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A. M13 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M13 = a2 b2 = a2b3 – a3b2 a3 b3 Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut. K13 = −11 + 3 [a2b3 – a3b2] K21 = −12 + 1 M21 M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A. M21 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M21 = b1 c1 = b1c3 – b3c1 b3 c3 Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut. K21 = −12 + 1 [b1c3 – b3c1] K22 = −12 + 2 M22 M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A. M22 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M22 = a1 c1 = a1c3 – a3c1 a3 c3 Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut. K22 = −12 + 2 [a1c3 – a3c1] K23 = −12 + 3 M23 M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A. M23 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M23 = a1 b1 = a1b3 – a3b1 a3 b3 Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut. K23 = −12 + 3 [a1b3 – a3b1] K31 = −13+ 1 M31 M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A. M31 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M31 = b1 c1 = b1c2 – b2c1 b2 c2 Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut. K31 = −13 + 1 [b1c2 – b2c1] K32 = −13+ 2 M32 M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A. M32 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M32 = a1 c1 = a1c2 – a2c1 a2 c2 Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut. K32 = −13 + 2 [a1c2 – a2c1] K33 = −13+ 3 M33 M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A. M33 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M33 = a1 b1 = a1b2 – a2b1 a2 b2 Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut. K33 = −13 + 3 [a1b2 – a2b1] Matriks Kofaktor A Transpose [kofAT] Transpose dari matriks kofaktor A diperoleh dengan cara mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Perhatikan cara berikut. kofA = K11 K12 K13 K21 K22 K23 K31 K32 K33 [kofA]T = K11 K21 K31 K12 K22 K32 K13 K23 K33 Dengan demikian, nilai adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut Adj A = matriks kofaktor AT Adj A = K11 K21 K31 K12 K22 K32 K13 K23 K33